住民税は、前職を9月末で退職し、10月から新しい会社で働いている場合、来年の6月までは前職で控除されていた金額で、それ以降は現職の給与から計算された金額になるのでしょうか？

住民税は、前年の所得に基づいて計算されます。つまり、あなたが前職で働いていた期間の所得に基づいて、住民税が計算されます。したがって、来年の6月までは、前職での所得に基づいて計算された住民税が控除されます。それ以降は、現職での所得に基づいて計算された住民税が控除されることになります。具体的な金額については、それぞれの会社の給与担当者に確認することをお勧めします。